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;;; divisor-list.lisp: 約数に関する証明
;; e が x の約数であるかどうかを調べる述語
(defmacro divisorp (e x)
`(integerp (/ ,x ,e)))
;; n の約数のリストを作る
(defun divisors-1 (n i)
(cond
((zp i) nil)
((divisorp i n)
(cons i (divisors-1 n (1- i))))
(t
(divisors-1 n (1- i)))))
(defmacro divisors (n)
`(divisors-1 ,n ,n))
;; x が n の約数のリストかどうかを調べる述語
(defun divisor-listp (x n)
(cond
((endp x) (null x))
(t (and (divisorp (car x) n)
(divisor-listp (cdr x) n)))))
;; 約数リストは真リストであることを示す定理
(defthm divisor-listp-to-true-listp
(implies (divisor-listp x n)
(true-listp x))
:rule-classes :forward-chaining)
;; divisors の結果は約数リストである
(defthm divisor-listp-divisors-1
(implies (and (natp n)
(posp m))
(divisor-listp (divisors-1 n m) n)))
(defthm divisor-listp-divisors
(implies (posp n)
(divisor-listp (divisors n) n)))
;; 正数 x について x - 1 が正数でないとき x は 1
(defthm posp-and-not-posp-n-1
(implies (posp n)
(iff (not (posp (+ -1 n)))
(equal n 1))))
;; divisorp-implies-member-divisors-1 の補助定理
(defthm divisorp-implies-member-divisors-1-lemma
(implies (and (natp n)
(posp m)
(not (posp (+ -1 m))))
(integerp (* (/ m) n)))
:hints (("Goal" :in-theory (disable posp-and-not-posp-n-1)
:use (:instance posp-and-not-posp-n-1
(n m)))))
;; e (e <= n) が n の約数のとき (divisors n) に
;; e が含まれている
(defthm divisorp-implies-member-divisors-1
(implies (and (natp n)
(posp m)
(posp e)
(<= e m))
(implies (divisorp e n)
(member e (divisors-1 n m))))
:hints (("Goal" :in-theory (disable posp-and-not-posp-n-1)
:use (:instance posp-and-not-posp-n-1
(n m)))))
(defthm divisorp-implies-member-divisors
(implies (and (posp n)
(posp e)
(<= e n))
(implies (divisorp e n)
(member e (divisors n)))))
;; (divisors n) に e が含まれているとき、
;; e は n の約数
(defthm member-divisors-1-implies-divisorp
(implies (and (natp n)
(posp m)
(posp e)
(member e (divisors-1 n m)))
(divisorp e n)))
(defthm member-divisors-implies-divisorp
(implies (and (posp n)
(posp e))
(implies (member e (divisors n))
(divisorp e n)))
:hints (("Goal" :in-theory (disable
member-divisors-1-implies-divisorp)
:use ((:instance member-divisors-1-implies-divisorp
(n n)
(m n)
(e e))))))
;; (divisors n) に e (<= n) が含まれていることは
;; e が n の約数であることの
;; 必要十分条件である
(defthm member-divisors-iff-divisorp
(implies (and (posp n)
(posp e)
(<= e n))
(iff (member e (divisors n))
(divisorp e n)))
:hints (("Goal" :in-theory (disable member-divisors-implies-divisorp)
:use ((:instance member-divisors-implies-divisorp
(n n)
(e e))))))
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